Sobre cómo leer bien la curva de infectados: guía breve de epidemiología matemática

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A Miguel Soto, con toda mi admiración y cariño

Mucho se está hablando estos días de la pandemia de COVID-19, enfermedad producida por el dichoso coronavirus SARS-CoV-2. Por motivos obvios, toda noticia (y mucha que no lo es) relacionada recibe el interés del público general con avidez, tratando de descifrar alguna clave que diluya la incertidumbre que nos corroe. Y prestos corremos a preguntar a la ciencia epidemiológica para saber cuánto tiempo más deberemos confinarnos en casa. Y de pronto tablas numéricas y gráficas de colores colonizan lugares antes inhóspitos para ellas, que ahora se prodigan en interesada cortesía, como el que recibe en casa al gurú esperando que le resuelva sus problemas. Esperamos con disciplinada esperanza que la ciencia aporte algo de luz a estos tiempos sombríos (que sin duda, pasarán). Al fin y al cabo, es lo justo; ése y no otro es su cometido.

Hasta aquí todo bien. El problema es que la ciencia no nos habla claro: usa un lenguaje que no se entiende muy bien, y no parece ofrecernos el nivel de certidumbre esperado. Nos reacomodamos en la silla por quinta vez y nos rascamos la cabeza para volver a sumergirnos en la curva de nuevo, la cual parece seguir burlándose de nosotros. ¿Mala fe?

En las líneas que siguen trataré de explicar algunos principios de la epidemiología matemática que pienso puedan ayudar a entender lo que está pasando y a su narración. Ésta se escribe en el lenguaje matemático, pues su propósito es cuantificar. Pero prometo no usar fórmulas. En todo caso, no hay por qué asustarse: ¿acaso la Fórmula 1 o el Tour de France no reúnen masas de espectadores leyendo números en pantalla? Esto no ha de ser menos entretenido.

¿Cómo se pronostica el futuro de la enfermedad? Aquí la palabra clave es modelo matemático, en este caso, epidemiológico [1, 2]. Para nuestro propósito baste decir que no es más que un conjunto de reglas, ecuaciones si se quiere, que describen la situación. Sustituyendo (o resolviéndolas), sabremos cuántos infectados habrá mañana o pasado. Básicamente esa es la idea.

¿Y cómo “saben” esas ecuaciones el futuro? Pues depende, hay modelos mejores y peores. Como dijo el Sr. Pelham Box, “en esencia, todos los modelos están equivocados, pero algunos son útiles”. Para construir un buen modelo, éste debe reflejar los aspectos importantes de la evolución de la epidemia, y para ello hay que entender bien cómo funciona ésta. Al menos, los aspectos más relevantes. Después hay que ajustarlo bien a la situación concreta de cada lugar, como cuando colocamos el espejo retrovisor del auto antes de arrancar.

¿Y cómo funciona una epidemia? Debemos entender los mecanismos de propagación de la enfermedad, dejando de lado otros aspectos como los clínicos (dejo aquí un pequeño glosario que puede ser de utilidad).

En la fase inicial de la epidemia en un lugar determinado, no hay nadie con la enfermedad; todos están sanos (nos referimos al COVID-19). Pero como la gente se mueve, comienzan a llegar personas infectadas que posiblemente contagien a otros: son los llamados casos importados. Así da comienzo la cadena de contagio: alguien infecta a otro, que a su vez infecta a otro más, etc. Puede que esto se controle y la cosa no vaya a más. Todos hemos leído a estas alturas sobre el aislamiento a los contagiados y el seguimiento a sus contactos, las pruebas PCR, etc. Esas medidas van dirigidas a controlar que la enfermedad no se extienda produciendo el brote epidémico, rompiendo la cadena de contagio.

Si la cosa se queda aquí, la epidemia se mantiene a raya. Los casos se darán como gotas de lluvia sobre suelo seco, como las ascuas de un cohete durante un castillo de fuegos artificiales cayendo sobre un campo seco de Castilla y apagándose calmadamente. Pero si el viento sopla en el momento justo y el fuego se aviva, puede comenzar un incendio: la cadena de contagio alcanza la transmisión comunitaria. Entonces la epidemia entra en una nueva fase, en la que predomina el contagio local: las personas que contagian se han contagiado en ese lugar, no son casos importados. La epidemia arranca.

¿Por qué se habla de crecimiento exponencial? Imaginemos una población aislada con únicamente una persona contagiada, y supongamos que las circunstancias son tales que cada persona infecta a otras dos cada vez. En el primer día tenemos un infectado. En el segundo día aparecen otros dos infectados más por esta persona. El tercer día, estos dos habrán infectado a otros cuatro. Y después ocho, dieciséis, treinta y dos, etc. Si toman una calculadora en este momento se darán cuenta de lo rápido que crecen esos números. Siéntense en una silla o se caerán como el rey Sheram ante las consecuencias insospechadas de la petición inocente de Sissa. Recuerden que cuando los reyes se tropiezan, es señal de que los tiempos cambian.

Este tipo de configuración numérica es lo que se llama una progresión geométrica, resultado de evaluar lo que en matemáticas se llama una función exponencial. Se trata de una potencia con base fija (en este caso dos) cuyo exponente va variando. El punto aquí es que una epidemia, en su primera fase, tiene un crecimiento aproximadamente exponencial. Esto es debido a que, en una comunidad y momento específicos, una cierta enfermedad se propaga de esa manera: cada individuo infecta en promedio un número fijo de personas, mientras que los condicionantes no cambien demasiado. Éste será la base de la potencia, en el ejemplo, dos. Por supuesto, estamos simplificando los detalles para que se entienda mejor.

Cuando ya se ha establecido la transmisión comunitaria y el número de infectados explota, se torna cada vez más difícil tratar específicamente la cadena de contagio, caso por caso, puesto que le pierdes la pista a los infectados. Es especialmente ahora cuando se usan medidas de control globales, como la cuarentena.

En este punto necesitamos ponernos de acuerdo en el significado de un término matemático. Una tasa de crecimiento de una magnitud, por ejemplo del número de infectados, es el incremento de esa magnitud en relación al periodo de tiempo empleado (a quien sepa Cálculo se le permite tomar tasas instantáneas). Esto nos sirve para medir el ritmo de crecimiento de la magnitud. Cuanto más grande, más rápido crece la magnitud. De acuerdo con esto, otra forma de describir el crecimiento exponencial es la siguiente: la tasa de crecimiento del número de infectados es directamente proporcional al número de infectados; es decir, si se dobla el número de infectados, se dobla también el ritmo con el que se generan más. La constante de proporcionalidad es lo que se llama tasa de contagio. Este número está estrechamente relacionado con la base de la potencia anterior.

Una forma de medir la intensidad de la epidemia es considerar esta tasa de contagio. Teniendo en cuenta que básicamente la tasa de contagio se puede pensar como el número de individuos que un contagiado infecta por día, el lector se convencerá rápidamente de que cuanto mayor sea la tasa de contagio, más rápido crecerá la epidemia durante su fase de crecimiento exponencial. Para hacerse una idea de su papel retomen la calculadora, y ahora prueben con base tres y comparen: este número es importantísimo para tener una idea de qué tan mala puede ser la epidemia. Por eso, se dice que las medidas de control tratan de reducir la tasa de contagio, que viene a ser lo mismo que tratar de que se infecte menos gente, por ejemplo reduciendo el contacto entre personas. Recuerden no confundir la incidencia (casos nuevos) con la prevalencia (casos actuales, nuevos o viejos).

¿Esto es todo? Bueno, hay que considerar que, desgraciadamente, algunas personas fallecen por esta enfermedad. Así, al número de infectados hay que quitarle una cierta cantidad, que se considera proporcional, con constante de proporcionalidad igual a la tasa de mortalidad.

Ahora bien, por mucho que crezca el número de infectados, no puede hacerlo indefinidamente, ya que hay un número limitado de personas. ¿Qué ocurre entonces con el modelo de crecimiento exponencial? Pues que ya no aplica más, y hay que mejorarlo. Aquí usaremos el siguiente principio básico: la Ley de acción de masas, cuyo origen está en la Teoría de los gases.

Imaginemos una mesa de billar con bolas azules y rojas. Las bolas azules representan personas no infectadas y las rojas, infectadas. Si las bolas están en movimiento continuo, sin detenerse, chocarán unas con otras. Supongamos que cuando dos bolas de distinto color chocan, con una cierta probabilidad (relacionada con la tasa de contagio) la bola azul se convierte en roja; es decir, “se infecta”. Obviamente no aplicamos esta regla en el caso de que tengan el mismo color: una persona sana no infecta, y un infectado ya no se puede infectar (aunque aquí puede intervenir el concepto de carga viral; no es lo mismo estar “poco enfermo” que “muy enfermo”, los efectos en el organismo no serán los mismos. Que se lo digan al personal sanitario). Hagan el experimento mental. Aunque comencemos con una única bola roja, pronto tendremos muchas más (el ritmo dependerá de la probabilidad anterior; es decir, de la tasa de contagio). Pero a medida que haya más y más bolas rojas, quedarán menos azules. En consecuencia, cada vez se darán menos choques entre bolas de distinto color, y por tanto, el ritmo con el que se infectan las bolas decaerá.

Apliquemos esta metáfora a nuestro caso. La Ley de acción de masas dice que la tasa de crecimiento es directamente proporcional al número de infectados y no infectados, sobre la población. Es decir, hay que multiplicar el número de infectados por el de personas sanas, y dividir por la población total. La explicación es la siguiente: para obtener la nueva tasa de contagio efectiva, multiplicamos la tasa de contagio (vieja) por la probabilidad de encontrarse con una persona no infectada, que es el cociente del número de personas sanas y la población total. A medida que se infectan más y más personas, quedan menos personas sanas, y esta probabilidad es menor, decreciendo la tasa de contagio. Bastante razonable.

Este tipo de ideas son los principios básicos de los llamados modelos compartimentales, pues dividen a la población en compartimentos y estudian las leyes de trasvase de individuos entre ellos. Esta formulación produce una curva de infectados típica que crece despacito desde cero, llega un momento en el que crece rápidamente (crecimiento exponencial), y paulatinamente baja el ritmo hasta empezar a decrecer otra vez, haciendo como una especie de colina. La cima de esa colina, lo que se llama el pico de infección o de la epidemia, representa el tiempo en el que se da un número mayor de infectados. Es ahí donde se dan los peores momentos. Estimar cuándo se va a dar y qué tan alta va a ser es uno de los objetivos del estudio de estos modelos.

Entonces, ¿el modelo de crecimiento exponencial ya no sirve? Fíjense. Al principio, cuando apenas hay infectados, casi todos están sanos, luego esa probabilidad es prácticamente uno. Multiplicar por uno es como saludar: es gratis y no hace daño. Por tanto, la tasa efectiva es casi casi igual a la tasa de contagio, y el modelo producido por la Ley de acción de masas es prácticamente un modelo exponencial. Por eso, usar cualquiera de los dos modelos en ese momento inicial dará resultados muy parecidos.

Es necesario mencionar que en este tipo de modelos epidemiológicos, una forma estándar de medir qué tan fuerte será la epidemia es calculando el llamado Número reproductivo básico, denotado usualmente R0. La definición y significado matemáticos son algo más complejo, pero esencialmente es el número de infectados que se espera habrá en una población que comienza con un único individuo infectado [3]. La idea básica es que si R0 es menor a uno no hay nada que temer, pero si es mayor a uno la cosa se pondrá fea, tanto más cuanto mayor sea. Por este motivo, este numerito es el santo grial de los epidemiólogos, y muchos científicos andan tratando de estimar su valor para esta pandemia, en los distintos países y comunidades.

¿Hay algo más? Bueno, hay que pensar qué ocurre con los infectados, pues por suerte no siguen eternamente en ese estado. Los que no fallecen, se recuperan y dejan de ser infecciosos: es lo que se conoce como inmunidad. Volvamos al billar y añadamos una nueva regla. Cada bola roja, después de un cierto tiempo de haberse “contagiado” se vuelve verde; es decir, “se recupera”, haciéndose inmune. Esto quiere decir que es como las bolas azules, con el añadido de que no puede volverse roja aunque choque con otra bola roja. Hagan el experimento mental. Para no hacerles el cuento largo, la población de bolas verdes (sujetos inmunes) “protege” al de bolas azules. Por dos motivos: el número de encuentros azul-rojo proporcionalmente es menor por su presencia y se reduce el número de bolas rojas, al convertirse en verdes.

Este punto es importantísimo. Sin inmunidad, las bolas rojas se harían con toda la mesa de billar (toda la población se infectaría) tarde o temprano. Es por este motivo que puede darse la bajada de la curva de infectados, después del pico de la epidemia. Así pues, gran cantidad de científicos están estudiando las características de inmunización del COVID-19. Ya saben, ¿te puedes infectar después de recuperarte? ¿Cuánto tiempo te dura la inmunidad?

Esta segunda pregunta tiene más importancia todavía de la que parece. Imaginen que tras un cierto tiempo, en nuestra mesa de billar imaginaria las bolas verdes se vuelven otra vez azules. Si esto pasa, y aún quedan bolas rojas, ¿qué pasará? ¿Volveremos a estar como al principio? ¿Quiénes ganarán, las rojas, o las azules y verdes? Esto tiene que ver con los rebrotes de la enfermedad y la posible endemicidad de la pandemia (¿volverá a visitarnos cada invierno, como la gripe?).

En este punto se puede entender bien el papel de las vacunas, que para esta enfermedad todavía no existen, aunque se están desarrollando a la máxima velocidad. Y relacionado con todo esto está el concepto de inmunidad de rebaño, que viene a ser lo siguiente: si las bolas verdes protegen a las azules, ¿podremos conseguir mantener una proporción de bolas verdes estable? Nótese que vacunarse, en nuestro billar, quiere decir cambiar de azul a verde sin que medie ninguna bola roja.

Ya para terminar. Si tenemos tan buenos modelos, ¿por qué no acaban con toda esta incertidumbre de una vez? Este tipo de modelos epidemiológicos han mostrado históricamente su relativa fiabilidad como herramienta para predecir en epidemiología [1, 2]. Aunque se trata de una enfermedad nueva con especificidades propias que requieren nuevas variantes de los modelos [4, 5], no es ahí donde está el problema principal.

Como ya se ha comentado, los modelos han de ajustarse. No se pueden aplicar las mismas ecuaciones para países distintos en momentos distintos, ¡saldrían los mismos resultados! Más concretamente, suponiendo que el mismo modelo es válido para distintas situaciones (hipótesis discutible, ya que la dinámica de la epidemia depende también de comportamientos sociales, infraestructuras sanitarias, decisiones gubernamentales, mutaciones del virus, etc., que claramente varían de una situación a otra), es necesario ajustar los parámetros del modelo (tasa de contagio, tasa de mortalidad, tasa de recuperación, etc.). Para ello, se requiere estimar los valores que se usarán para cada parámetro.

Hay muchos procedimientos matemáticos para estimar los parámetros, pero en cualquier caso se ha de partir de los datos disponibles para distintas magnitudes. Y he aquí el problema. Al ser una enfermedad novedosa, se tienen pocos datos con los que trabajar. Además, de una u otra manera los datos están contaminados, no son del todo confiables. Obviando el falseamiento de los datos (exista o no), hay muchas circunstancias que pueden afectar el resultado. Por ejemplo, el subdiagnóstico. En la práctica es imposible conocer con certeza el número real de infectados. Suponiendo pruebas diagnósticas completamente confiables, tendríamos que hacer pruebas a toda la población. Por otra parte, hay personas que no van a ir al médico aunque presenten síntomas (por diversos motivos), y hay personas que no los presentarán (las evidencias muestran que hay una proporción alta de individuos asintomáticos y que tienen un papel muy importante en la propagación de la epidemia). Por otro lado, la divergencia en los criterios clínicos para clasificar los casos y fallecimientos, entre otros, altera las estadísticas. Por esto hay una gran falta de consenso en la letalidad de la enfermedad, por ejemplo. En resumen, la comunidad científica no se pone de acuerdo en las estimaciones de los parámetros más básicos (MIDAS, Online Portal for COVID-19 Modeling Research).

Volviendo al tema con el que iniciamos. ¿Por qué la ciencia no nos habla claro? ¿Qué hacer con esta incertidumbre que nos desasosiega tanto? Uno podría pensar que los científicos nos encontramos en una especie de contrarrecíproco (aún más) perverso del mito de Casandra: la población está dispuesta a creernos, pero no atinamos a profetizar cómo acabará esto. Sólo puedo decir lo siguiente: créanme, estamos trabajando en ello, asumiendo el rol que la sociedad nos reparte con responsabilidad. Hay centenares de grupos de investigación de todo el mundo trabajando en ello, con múltiples iniciativas (como la Acción Matemática contra el Coronavirus, del Comité Español de Matemática; el MOMAT Research Group, de la Universidad Complutense de Madrid; Científicos Mexicanos en el Extranjero; y muchísimas otras). En cuestión de escasos meses se han generado miles de artículos científicos sobre el COVID-19, algo impresionante. Pero la honestidad es un requisito fundamental en la ciencia, y si la respuesta a la pregunta que nos hacen es incierta, nuestro deber es contestar “no lo sabemos, pero estamos en ello”. Esta enfermedad es muy compleja, y aún nos quedan muchos aspectos que entender.


Nota: se han simplificado algunos detalles con objeto de aportar un texto más divulgativo. A los lectores más atrevidos les dejo algunas referencias más técnicas. También se han quedado muchas cosas en el tintero, pero como dicen, lo bueno si breve, dos veces bueno.


Referencias

[1] Brauer, F., y Castillo-Chavez, C. Mathematical models in population biology and epidemiology. Vol. 2. New York: Springer, 2012.

[2] Ma, Z., y Li, J. Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics. World Scientific, 2009.

[3] Heesterbeek, J.A.P. A brief history of R0 and a recipe for its calculation. Acta biotheoretica 50.3 (2002): 189-204.

[4] Ivorra, B., Ruiz Ferrández, M., Vela, M., y Ramos, A.M. «Mathematical modeling of the spread of the coronavirus disease 2019 (COVID-19) taking into account the undetected infections. The case of China.» (2020).

[5] Lin, Q., Zhao, S., Gao, D., Lou, Y., Yang, S., Musa, S.S., Wang, M.H., Cai, Y., Wang, W., Yang, L, He, D. A conceptual model for the coronavirus disease 2019 (COVID-19) outbreak in Wuhan, China with individual reaction and governmental action. International Journal of Infectious Diseases 93 (2020) 211–216.

 

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